REALIZADA POR: ANA MARIA MATOS SUAREZ
CURSO
TEORIA DE NUMEROS
NIVEL
CICLO FORMATIVO
CICLO FORMATIVO
GRADO
PRIMER CUATRIMESTRE
PRIMER CUATRIMESTRE
TEMA DE LA UNIDAD
METODOS GEOMETRICOS
METODOS GEOMETRICOS
TEMA DE LA FICHA DE APRENDIZAJE
LA REPRESENTACION GEOMETRICA
LA REPRESENTACION GEOMETRICA
OBJETIVO TERMINAL DE LA UNIDAD
Desarrollar las técnicas adecuadas para resolver problemas de la teoría de números conocida como la representación geométrica.
Desarrollar las técnicas adecuadas para resolver problemas de la teoría de números conocida como la representación geométrica.
OBJETIVO DE APRENDIZAJE (DE LA FICHA)
Conocer:
· Elementos de un cuerpo numérico
· El plano complejo
· Vértices de una red
· Anillo como subconjunto del plano complejo
· La recta real
Conocer:
· Elementos de un cuerpo numérico
· El plano complejo
· Vértices de una red
· Anillo como subconjunto del plano complejo
· La recta real
EVALUACION DIAGNOSTICA (DE LA FICHA)
1. Determine el máximo común divisor de 210 y 495, y expresarlo como una combinación lineal de ambos.
2. Usando el algoritmo de Euclídes encontrar el máximo común divisor de:
a) 271,337 b) 1128,1636 c) 519,1730.
3 Encuentre el máximo común divisor de 1769 y 2378, y expresarlo como una combinación lineal de ambos.
4. ¿Existen enteros a,b tal que sumados den 500 y (a,b)=7 ?.
5. Sean a, b, c, d enteros positivos tales que b? d. Mostrar que si a b
y c d son 2 fracciones reducidas es decir, (a,b)=1 y (c, d)=1, entonces a
b + c d no es un entero.
6. Pruebe que n y n+1 son siempre primos relativos.
7. Muestre que n!+1 y (n+1)!+1 son primos relativos (Hint. Multiplicar el primer número por n+1.)
8. Probar que si n es impar, n y n-2 son primos relativos.
9. Si (a, b)=1, pruebe que (a+b, a-b)=1 o 2.
10. Probar o refutar que si 1 k ³ , los enteros 6k+5 y 7k+6 son primos relativos.
MATERIAL DE APRENDIZAJE (CONTENIDO)
La representación geométrica
Definición 4.1 Sea K un cuerpo numérico de grado n. Para cada monomorfismo σ : K −→ C definimos el conjugado de σ como la composición de σ con la conjugación compleja, es decir, el monomorfismo dado por σ(α) = σ(α). Diremos que σ es real si σ = σ o, equivalentemente, si σ [K] R. En caso contrario diremos que σ es complejo.
Es evidente que el numero de monomorfismos complejos de un cuerpo numérico K ha de ser par. Llamaremos s al numero de monomorfismos reales y 2t al de complejos, de modo que si n es el grado de K tenemos la relación n = s+2t. Además numeraremos los n monomorfismos de K de modo que σ1,. . . , σs serán los reales y σs+1, σs+1, . . . , σs+t, σs+t serán los complejos.
Por ejemplo en el caso de los cuerpos cuadráticos tenemos s = 2, t = 0 para los cuerpos reales (de discriminante positivo) y s = 0, t = 1 para los imaginarios (de discriminante negativo). Para el cuerpo ciclotomico de orden p se tiene s = 0, t = (p − 1)/2. En los cuerpos cúbicos puros s = 1, t = 1, etc.
Ejercicio: Probar que el signo del discriminante de un cuerpo numérico es (−1)t. La identificación usual C = R2, como espacios vectoriales, nos da una identificación natural Rs×Ct = Rn. Por ejemplo, si s = t = 1 identificamos la terna
(1, 2, 3) con el par (1,2 + 3i).
Definimos Rst = Rs × Ct considerado como anillo con el producto definido componente a componente (obviamente no es un dominio ıntegro). A los elementos de Rst los llamaremos vectores.
Llamaremos representación geométrica del cuerpo K a la aplicación que a cada numero α K le asigna el vector x(α) = _σ1(α), . . . , σs+t(α)_. Es claro que esta representación es invectiva y conserva sumas y productos. Ademas si a es un numero racional, x(aα) = ax(α).
Definimos en Rst la norma dada por N(x1, . . . , xs+t) = x1 · · · xsxs+12 · · · xs+t2. Ası N(xy) = N(x)N(y), para x, y ∈ Rst y N_x(α)_ = N(α), para todo α K. Ahora probamos que esta la representación geométrica cumple el objetivo que nos habíamos propuesto:
Teorema 4.2 Sea K un cuerpo numérico. Si los números α1, . . . , αm de K son linealmente independientes sobre Q, entonces los vectores x(α1), . . . , x(αm) son linealmente independientes sobre R.
EVALUACION FORMATIVA (EJERCICIOS DE APRENDIZAJE)
1. Si (a,b)=1 y c divide a a+b, probar que (a, c)=(b, c)=1.
2. Mostrar que sí (b, c)=1 y m b, entonces (m, c)=1.
3. Mostar que si b es positivo, entonces exactamente (b, n) de los números n, 2n, 3n, …, bn son múltiplos de b.
4. La suma de 2 números positivos es 5432 y [a,b]=223020. Hallar los números.
5. Pruebe que [ma, mb]= m[ a, b] sí m = 1.
6. Demostrar que si d y M son enteros positivos, entonces existen enteros a, b tales que d=(a, b) y M=[a,b] si y solo si d/M.
7. Cual es el número racional positivo (mínimo) que se puede expresar en la forma x/30 + y/36 con x, y enteros.
8. De ancho de once pulgadas de alto una pieza de papel, 21 líneas azules paralelas son dibujadas, dividen el papel entre 22 partes igualmente pesadas. Ahora 37 líneas rojas paralelas son dibujadas dividiendo el papel entre 38 partes igualmente pesadas. ¿Cuál es la distancia más corta entre la línea azul y la roja?.
1. Determine el máximo común divisor de 210 y 495, y expresarlo como una combinación lineal de ambos.
2. Usando el algoritmo de Euclídes encontrar el máximo común divisor de:
a) 271,337 b) 1128,1636 c) 519,1730.
3 Encuentre el máximo común divisor de 1769 y 2378, y expresarlo como una combinación lineal de ambos.
4. ¿Existen enteros a,b tal que sumados den 500 y (a,b)=7 ?.
5. Sean a, b, c, d enteros positivos tales que b? d. Mostrar que si a b
y c d son 2 fracciones reducidas es decir, (a,b)=1 y (c, d)=1, entonces a
b + c d no es un entero.
6. Pruebe que n y n+1 son siempre primos relativos.
7. Muestre que n!+1 y (n+1)!+1 son primos relativos (Hint. Multiplicar el primer número por n+1.)
8. Probar que si n es impar, n y n-2 son primos relativos.
9. Si (a, b)=1, pruebe que (a+b, a-b)=1 o 2.
10. Probar o refutar que si 1 k ³ , los enteros 6k+5 y 7k+6 son primos relativos.
MATERIAL DE APRENDIZAJE (CONTENIDO)
La representación geométrica
Definición 4.1 Sea K un cuerpo numérico de grado n. Para cada monomorfismo σ : K −→ C definimos el conjugado de σ como la composición de σ con la conjugación compleja, es decir, el monomorfismo dado por σ(α) = σ(α). Diremos que σ es real si σ = σ o, equivalentemente, si σ [K] R. En caso contrario diremos que σ es complejo.
Es evidente que el numero de monomorfismos complejos de un cuerpo numérico K ha de ser par. Llamaremos s al numero de monomorfismos reales y 2t al de complejos, de modo que si n es el grado de K tenemos la relación n = s+2t. Además numeraremos los n monomorfismos de K de modo que σ1,. . . , σs serán los reales y σs+1, σs+1, . . . , σs+t, σs+t serán los complejos.
Por ejemplo en el caso de los cuerpos cuadráticos tenemos s = 2, t = 0 para los cuerpos reales (de discriminante positivo) y s = 0, t = 1 para los imaginarios (de discriminante negativo). Para el cuerpo ciclotomico de orden p se tiene s = 0, t = (p − 1)/2. En los cuerpos cúbicos puros s = 1, t = 1, etc.
Ejercicio: Probar que el signo del discriminante de un cuerpo numérico es (−1)t. La identificación usual C = R2, como espacios vectoriales, nos da una identificación natural Rs×Ct = Rn. Por ejemplo, si s = t = 1 identificamos la terna
(1, 2, 3) con el par (1,2 + 3i).
Definimos Rst = Rs × Ct considerado como anillo con el producto definido componente a componente (obviamente no es un dominio ıntegro). A los elementos de Rst los llamaremos vectores.
Llamaremos representación geométrica del cuerpo K a la aplicación que a cada numero α K le asigna el vector x(α) = _σ1(α), . . . , σs+t(α)_. Es claro que esta representación es invectiva y conserva sumas y productos. Ademas si a es un numero racional, x(aα) = ax(α).
Definimos en Rst la norma dada por N(x1, . . . , xs+t) = x1 · · · xsxs+12 · · · xs+t2. Ası N(xy) = N(x)N(y), para x, y ∈ Rst y N_x(α)_ = N(α), para todo α K. Ahora probamos que esta la representación geométrica cumple el objetivo que nos habíamos propuesto:
Teorema 4.2 Sea K un cuerpo numérico. Si los números α1, . . . , αm de K son linealmente independientes sobre Q, entonces los vectores x(α1), . . . , x(αm) son linealmente independientes sobre R.
EVALUACION FORMATIVA (EJERCICIOS DE APRENDIZAJE)
1. Si (a,b)=1 y c divide a a+b, probar que (a, c)=(b, c)=1.
2. Mostrar que sí (b, c)=1 y m b, entonces (m, c)=1.
3. Mostar que si b es positivo, entonces exactamente (b, n) de los números n, 2n, 3n, …, bn son múltiplos de b.
4. La suma de 2 números positivos es 5432 y [a,b]=223020. Hallar los números.
5. Pruebe que [ma, mb]= m[ a, b] sí m = 1.
6. Demostrar que si d y M son enteros positivos, entonces existen enteros a, b tales que d=(a, b) y M=[a,b] si y solo si d/M.
7. Cual es el número racional positivo (mínimo) que se puede expresar en la forma x/30 + y/36 con x, y enteros.
8. De ancho de once pulgadas de alto una pieza de papel, 21 líneas azules paralelas son dibujadas, dividen el papel entre 22 partes igualmente pesadas. Ahora 37 líneas rojas paralelas son dibujadas dividiendo el papel entre 38 partes igualmente pesadas. ¿Cuál es la distancia más corta entre la línea azul y la roja?.
No hay comentarios:
Publicar un comentario